門前小僧
　関数の直交性
　演習とプログラミング

　【要点】
　　[内積]
　　　　　　周期、複素関数、
　　　　　　
　　　　　　　ここで、はの複素共役である。
　　[ノルム]
　　　　　
　　[内積の性質]
　　　　　（１）
　　　　　（２）　　、　　
　　　　　（３）
　　　　　（４）
　　　　　（５）ならば、
　　[直交する]
　　　　　のとき、とは直交する。
　　[シュヴァルツの不等式]
　　　　　
　　[三角不等式]
　　　　　
　　[ルジャンドル多項式]
　　　　　

　ルジャンドル多項式の列挙　（n=0～5）
　
　Pyhonプログラム
　
　ルジャンドル多項式のグラフ
　　
　　　　　　　　　　　　　のグラフ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　のグラフ　　　　
　Pythonプログラム
　

　演習とプログラミング

　[問題２－１]
　　SymPy を利用して、におけるとの距離を求めよ。
　また、も求めよ。
　（解）
　　　
　　　ここで、
　　　
　　　から
　　　
　　　
　　　であることから
　　　
　　　を得る。
　　　
　　　                    
　　　
　　　つぎに、を求める。
　　　
　　　             
　　　             
　　　
　　　以上は計算によるものであるが、Python ではつぎのようになる。
　　　
　　　実行結果
　　　
　　　実行結果より
　　　が得られるので、
　　　
　　　
　　　が得られる。

　[問題２－２]
　　つぎので定義されたそれぞれの関数に対し、内積を求めよ。
　　（１）　　　　　（２）
　　（３）　　　　（４）
　（解）
　　（１）
　　　　
　　　　　　　　　
　　（２）
　　　　
　　　　　　　　　
　　（３）
　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　（４）
　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　

　[問題２－３]　　
　　ルジャンドル多項式に対して、つぎのボネの漸化式（A）が成り立つことが知られている。
　　　　　　　　　　（A）
　　であることと式（A）を用いて、を求めよ。
　（解）
　　とする。
　　となるから
　　
　　とする。
　　となるから
　　
　　とする。
　　となるから
　　

　[問題２－４]　
　　（１）を満たす多項式が存在することが知られている。
　　　　　を次のチェビシェフ多項式（Chebyshev polynomial）という。
　　　　　を求めよ。
　　（２）の範囲でのグラフを描け。ただし、における次のチェビシェフ多項式の
　　　　　値を求めるには、eval_chebyc(n,t)を使う。
　　（３）チェビシェフ多項式は、次の意味で直交性を持つことを示せ。
　　　　　
　　　　　[ヒント]　とおいてみる。
　　　（解）
　　　　（１）
　　　　　　
　　　　　　のとき
　　　　　　
　　　　　　のとき
　　　　　　
　　　　　　のとき
　　　　　　
　　　　　　のとき
　　　　　　
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　
　　　　（２）
　　　　　　のグラフ
　　　　　　
　　　　　　Pythonプログラム
　　　　　　

　　　（３）
　　　　　　とおくと
　　　　　　である。
　　　　　　
　　　　　　ここで、のとき
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　つぎに、のとき
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　それら以外、つまりのとき
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


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