門前小僧
　フーリエ級数展開
　演習とプログラミング

　【要点】
　周期関数　周期　　

　
　　、　
　

　内容理解のために演習問題を解き、プログラムを実行して解の確認を行う。

　[問題１－１]
　つぎの式をフーリエ級数展開せよ。
　　、　
　（解）
　周期から、であるから、となる。
　
　
　のとき
　
　のとき
　
　
　上式をまとめると
　
　と表すことができる。
　
　のとき
　
　のとき
　
　以上により、求めるフーリエ級数展開はつぎのようになる。
　
　　
　
　Python プログラム
　

　実行結果
　

　[問題１－２]
　   、　をフーリエ級数展開せよ。
　ただし、は整数ではないものとする。
　（解）
　は奇関数なので、である。
　
       
       
       
       
　以上より、フーリエ級数展開はつぎのようになる。
　

　Pythonプログラム
　

　実行結果
　
　　　　　　　　n=20 までの近似

　【問題１－３】
　次のをフーリエ級数展開せよ。
　
　（解）
　
　
　ここで、とおくと、であり、より
　
　さらに置換積分を行う。とおくと、であるから
　
　　　　　　　　　　　　
　となるので、
　
　を得る。
　
　ここで、とおくと、であるから、より
　
　を置換積分すると
　とおくと、であるから
　
　　　　　　　　　　　　
　を得る。これにより、係数は
　
　を得る。以上の結果より、フーリエ級数展開は
　

　Python プログラム
　

　実行結果
　

　【問題１－４】
　を奇関数として拡張し、周期の周期関数と考えて
　フーリエ級数展開せよ。また、フーリエ正弦展開の最初の数項とのグラフを重
　ね描きせよ。
　（解）
　周期をに拡張すると次のようになる。
　
　奇関数なので、である。
　
      
　この積分は【問題１－３】から
　
　を得る。これよりフーリエ級数展開は
　
　となる。

　Python プログラム
　

　実行結果
　　
　

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