ピタゴラスの定理
またの名を三平方の定理

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　ここでは、ピタゴラスの定理の証明法を集めています。ここの掲示のない証明、また、オリジナルの証明があれば、投稿をお願いします。中学生レベルの証明法に限定します。

　なお、投稿は、証明法を比較しやすくするために、一部記号の付け方など変更させていただくことがあります。ご了承ください。

　なお，本当にオリジナルかどうかは，なかなか分かりません。自分で考えたという気持ちがあれば，ここでは採用するという基準でやっております。

（敬称省略）

　吉村育弘の証明（2001年６月２日）
　大橋道雄の証明（９７年８月１０日）
　新証明 亀井喜久男の証明（９７年７月２０日）亀井氏の３大仕事
　斎藤末広の証明（９７年７月２０日）

未整理　川上明則＠和泉市(2004/09/17投稿)

たしか１７歳のころ。代数ではなく視覚に訴える証明方法はないかと円と三角形の関係を使って無い知恵を絞った記憶がございます。

 
*

証明

①　　線分 ab を直径とする半円を描き、円周ab　を二等分する円周上の　点c　と、

　　　円周cb上に任意の　点d をとります。

②　　c　と　d を結ぶ直線の延長上に　a 及び　b からそれぞれ垂線を下ろし、

　　　　その足を e 及び　f とします。

③　　∠eca＝１８０°－∠acb　(直角)－∠fcb ＝∠cbf

線分ac ＝ cb よって△eac≡△fbc　その面積を　S と置く。

④　　前提より　∠abc ＝∠adc ＝∠fdb ＝45°

　　　よって　△ade , △dbf , △abc は直角二等辺三角形。

⑤　　∠dcb ＝∠dab , ∠adb ＝∠cfb ＝ 90°

　　　よって　△fbc　と　△dab　は相似形で

　　　線分cb とab　は正方形の一辺と対角線の関係にあるから

　　　長さの比は１対√2となり、それらを対応する辺にもつ上記二つの

　　　三角形の面積の比は１対２である。すなわち　△dab　の面積＝S×２

⑥　台形abfe－(△ace＋△cbf) ＝台形abfe－2S ＝△abc

　　 台形abfe－△dab ＝台形abfe－2S ＝△ead＋△dbf

すなわち　△ead＋△dbf　＝△abc

　　　　　　　4△ead＋4△dbf　＝4△abc

　　　つまり　 ad２乗＋db２乗＝ab２乗

*

　

未整理　榮 紘嗣(岡山県立岡山一宮高校2002/秋ごろ投稿)

> 自分の通っている高校では、課題研究の時間があり、
> ピタゴラスの定理や、ピタゴラス三角形について調べていた中
> で、証明を考えてみようということになりました。
> 自分の研究グループの担当の先生も、できるはずはないと考え
> ていたようですが、できてしまったのです。
>
> 最初に、高校までの知識で見つかるとすれば図形での証明だろ
> うと考えました。
> そして、辺の２乗の値が出るように、いろいろと各辺を伸ばし
> たりしていた所、まず、一辺の長さがｃの二等辺三角形ができ
> 、相似な二等辺三角形を、各辺に作りました。
> それから、a＋ｃというながさの直線２本の存在に気付き、
> この証明の形を作る事ができました。
> 実は、担当の先生に「考えて来い。」と言われてから、
> 次の課題研究のある日の前日まで忘れていて、
> 一日のうちに思いついた証明です。

*
> 直角三角形ＡＢＣ（∠ＢＣＡ＝９０°）を作り、
> ＢＣ＝a，ＣＡ＝b，ＡＢ＝cとおく。
> 辺ＣＢを点Ｂからcだけ延長した点をＤとする。
> 点ＣからＡＤに平行な直線を引き、
> 辺ＡＢの延長線との交点をＥとする。
> 点ＡからＡＢに垂直な直線を引き、
> ＡＦ＝bとなる点Ｆを、ＡＣをはさんで
> 点Ｂの反対側にとる。
> ∠ＡＤＢ＝θとおくと、∠ＤＡＢ＝θ，∠ＡＢＣ＝２θ
> 　∠ＢＡＣ＝１８０°－９０°－∠ＡＢＣ
> 　　　　　＝９０°－２θ
> 　∠ＢＡＦ＝９０°より
> 　∠ＣＡＦ＝∠ＢＡＦ－∠ＢＡＣ
> 　　　　　＝９０°－（９０°－２θ）＝２θ
> ＡＣ＝ＡＦ＝bより、∠ＡＣＦ＝∠ＡＦＣ
> 　∠ＡＣＦ＋∠ＡＦＣ＋∠ＣＡＦ＝１８０°
> 　　　　　　　２∠ＡＣＦ＋２θ＝１８０°
> 　∴　∠ＡＣＦ＝∠ＡＦＣ＝９０°－θ
> ＡＤ//ＣＥより、∠ＡＤＢ＝∠ＥＣＢ＝θ，∠ＤＡＢ＝∠ＣＥ
> Ｂ＝θ
> ∠ＥＣＢ＋∠ＢＣＡ＋∠ＡＣＦ＝θ＋９０°＋（９０°－θ）
> ＝１８０°
> よって　３点Ｅ，Ｃ，Ｆは同一直線上にある。
> ∠ＥＣＢ＝∠ＣＥＢ＝θより、ＢＣ＝ＢＥ＝a
> △ＡＤＣと△ＦＥＡにおいて、
> ＤＣ＝ＥＡ＝a＋c，ＡＣ＝ＦＡ＝b，∠ＤＣＡ＝∠ＥＡＦ＝９
> ０°
> 　∴　△ＡＤＣ≡△ＦＥＡ
> よって　△ＡＤＣ－△ＡＢＣ＝△ＦＥＡ－△ＡＢＣ
> 図より　　　　　　△ＡＤＢ＝△ＢＥＣ＋△ＡＣＦ
> ∠ＣＡＦの二等分線と点Ｃを通りＡＦに平行な直線を引き、そ
> の交点をＧとする。
> ∠ＧＡＣ＝∠ＧＡＦ＝（１/２）＊∠ＣＡＦ＝θ　ＡＦ//ＣＧ
> より　∠ＧＡＦ＝∠ＡＧＣ＝θ
> 　∴　△ＡＢＤ∽△ＣＢＥ∽△ＡＣＧ
> ＡＢ：ＣＢ：ＡＣ＝c：a：b　より
> 　△ＡＢＤ：△ＣＢＥ：△ＡＣＧ＝c＾２：a＾２：b＾２
> よって、定数kを用いて
> 　△ＡＢＤ＝kc＾２，△ＣＢＥ＝ka＾２，△ＡＣＧ＝kb＾２　
> と表すことができる。
> △ＡＤＢ＝△ＢＥＣ＋△ＡＣＦより、kc＾２＝ka＾２＋kb＾２
> 　∴a＾２＋b＾２＝c＾２
*

　

メモ

> 三平方の定理の証明
>
> ａ　の平方とｂ　の平方の和 左側＝右側 ｃ　の平方
>
> axa+bxb＝(a+b)x(a+b)-2xaxb axa+bxb＝cxc cxc＝(a+b)x(a+b)-2xaxb
>
>
> ９７０年に成立した、源為憲の著書『口遊』に載っている「たゐに」に、
> この証明が示されています。
> 詳しくは、 大伴家持と三平方の定理 をご覧下さい。

リンク

　数学の部屋にある証明（アニメーション）

　「ピタゴラスの定理」の別証明集（@山口大学教育学部数理情報教室)

　

斎藤末広の証明

証明の概略

　内接円の半径はｒは、ａ，ｂ，ｃで表現できる。さらに三角形の面積は、(a*b)/2 、また、(a*r + b*r + c*r)/2　であるので、ここから ｒ を消去すれば、ａ，ｂ，ｃ の関係が現れるはずである。その式は

　 c2 = a2 + b2

 に違いない。

証明

直角三角形ＡＢＣにおいて、半径 ｒ の内接円を描く。

内接円の中心をＯ、ＡＣとの接点をＤ、ＣＢとの接点Ｅ、ＢＡとの接点Ｆとすると

△ＡＤＯ≡△ＡＦＯ、△ＢＦＯ≡△ＢＥＯ、△ＣＤＯ≡△ＣＥＯなので、

ＡＦ＝ＡＤ、ＢＦ＝ＢＥ、さらにＣＤ＝ＤＯ＝ｒ、ＣＥ＝ＣＯ＝ｒ

なので、

　ｃ＝ＡＦ＋ＢＦ

　　＝（ｂ－ｒ）＋（ ａ－ｒ）

よって

　ｒ＝（１／２）×（ａ＋ｂ－ｃ）

ところで、

三角形の面積は、a,bが直角なので(a*b)/2

また、内接円の半径ｒから

　(a*b)/2 ＝　(a*r + b*r + c*r)/2

　ａ×ｂ＝ｒ（ａ＋ｂ＋ｃ）

これに　ｒ＝（１／２）×（ａ＋ｂ－ｃ）を代入して

　ａ×ｂ＝（１／２）×（ａ＋ｂ－ｃ）（ａ＋ｂ＋ｃ）

　２ａｂ＝（ａ＋ｂ）＾２－ｃ＾２

　よって

　ｃ＾２＝ａ＾２＋ｂ＾２

感想

　中学時代三角形の内接円の授業で、rの長さをａ，ｂ，ｃで表せることを導いたときに、この証明が思いつく。後半の式変形がちょっと面倒だが、これは、ただｒを消去しているだけであるので、わかりやすい証明法と思う。

亀井喜久男さん（現：富田学園・岐阜東高校）の証明

証明の概略

　直角三角形ＡＢＣを、ａ倍した三角形、b倍した三角形を作成する。そうすると、abの長さの辺がそれぞれできるので、それを付けるとｃ倍の三角形と一致するはずである。

そのときの斜辺において、c倍した三角形とみるとｃ＾２であるので、

ｃ＾２＝ａ＾２＋ｂ＾２

感想

　大学の先輩であり、よく部屋に遊びにいった。そのとき、「とっておきの証明を教える」と切り出されたのが、これである。

　この証明は、私が知っている限り一番簡単な証明である。

なお、私が知っている亀井氏の３大仕事

　

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